na ganz einfach, mit height definierst du eine feste höhe.
und wenn die überschritten wird fließt (bei overflow:visible) der inhalt über die elementgrenzen hinaus - das element wird dabei aber nicht vergrößert. (und deshalb auch sein hintergrund nicht "fortgesetzt".)

wenn du aber gar keine feste höhe angeben willst, sondern nur einen mindesthöhe - dann nutze eben min-height.